منطق و سرسره
می دانیم که همه چیزبا گذشت زمان خراب می شود. بعضی وقت ها، بخش هایی از چیزها جایشان را با بخش هایی دیگر عوض می کنند. کلاج موتورسیکلت ها یا ماشین هایمان راعوض می کنیم. بام خانه هایمان را تعمیر می کنیم. یا
نویسنده: گراهام پریست
مترجم: بهرام اسدیان
مترجم: بهرام اسدیان
می دانیم که همه چیزبا گذشت زمان خراب می شود. بعضی وقت ها، بخش هایی از چیزها جایشان را با بخش هایی دیگر عوض می کنند. کلاج موتورسیکلت ها یا ماشین هایمان راعوض می کنیم. بام خانه هایمان را تعمیر می کنیم. یا شیروانی دیگری بر آن ها می نهیم. حتی سلول های بدنمان در گذر زمان تعویض می شوند. تغییرها و تعویض هایی از این دست بر اینهمانی چیزها اثر نمی گذارند. وقتی کلاج موتورم را عوض می کنم، موتور که عوض نمی شود. حالا فرض کنید ظرف چند سال همه ی قطعات موتور، حتی تنه اش را به تدریج عوض کنم. و قطعات قدیمی را هم احتیاطاً نگه دارم.
وقتی همه چیز عوض شد، همه ی قطعات قدیمی را کنار هم می گذارم و موتور اولی ام را از نو می سازم. تعویض یک قطعه از موتور بر اینهمانی آن تأثیری نمی گذارد، پس با هم تغییر، موتور همچنان بلک تاندر است (بلک تاندر اسم موتور «اولی» است)؛ و در آخر هم باز همان است- بلک تاندر است. ولی آخر چه طور می شود این حرف ها درست باشند؟
بلک تاندر نازنین خودم حالا کنار موتور جدید درگاراژ پارک شده است!
مثال دیگری بزنم. کسی که 5 سال دارد (از نظر بیولوژیک) کودک محسوب می شود. اگر کسی کودک باشد، یک ثانیه ی بعد هم همچنان کودک است.
ثانیه ی بعد از آن هم همچنان کودک است. ثانیه ی بعد از این ثانیه هم کودک است، ثانیه ی بعد از این ثانیه هم کودک است و .... پس بعد از 630،720،000 ثانیه همچنان کودک است. ولی در این لحظه او 25 ساله است!
می گویند این جور استدلال ها را اِبولیدس اختراع کرده؛ همان اِبولیدسی که پارادوکس دروغگو را اختراع کرد. امروزه به این استدلال ها پارادوکس ها تپه (sorites paradoxes) می گویند (شکل استاندارداین استدلال این است که هرقدر دانه های شن را یکی یکی روی هم بگذارید،هرگز نمی توانید تپه ای درست کنید؛ کلمه ی sorites از واژه ی یونانی soros به معنای «تپه» آمده). این جور پارادوکس ها از آزاردهنده ترین پارادوکس های منطق اند، و وقتی مطرح می شوند که محمولِ به کار رفته («بلک تاندر است»، «کودک است») به نحوی از انحا مبهم (1)باشد؛ به این معنا که پس از تغییر کوچکی در شیئی که این جور محمول ها به آن منتسب می شوند باز هم بتوان این محمول ها را به آن نسبت داد. تقریباً همه ی محمول هایی که در زبان و گفتار روزمره به کار می بریم، به این معنا مبهم اند: «قرمز است»، «بیدار است»، «خوش است»، «مست است» و حتی «مرده است» (چون مردن وقت می برد). به این ترتیب، می بینیم که برهان هایی از نوعِ تپه دراستدلال های هر روزه ی ما به شکلی بالقوه رواج دارند (وقتی با این استدلال ها دست و پنجه نرم می کنیم، انگار روی سرسره ای هستیم و مجبوریم تا ابد سر بخوریم).
برای آن که مطلب کاملاً شفاف شود، بهتر است روی جزئیات یکی از این استدلال ها متمرکز شویم. جک کودک 5 ساله ای است. جمله ی «جک بعد از 0 ثانیه کودک است» را با
چه باید کرد؟ یکی از راه حل ها منطق فازی (2) است. کودک بودن آرام آرام محو می شود درست مثل بزرگسال بودن، که آن هم آرام آرام پدیدار می شود. با توجه به این نکته، به راحتی می توان گفت ارزش گزاره ی «جک کودک است» نیز آرام آرام از صدق به کذب در حرکت است؛ یعنی صدقش آرام آرام محو می شود و کذبش پدیدار می شود. صدق، با این حساب، امری مدرّج است. هر یک از این درجات را با شماره هایی بین 0 و 1 مشخص می کنید: 1 صدق کامل است و
و اما جمله هایی که شامل عملگرهایی مثل نقیض و عطف هستند. جک که بزرگ تر می شود، ارزش صدق جمله ی «جک کودک است» پایین تر می رود [به سمت صفر می رود]. و متناظراً، ارزش صدق جمله ی «جک کودک نیست» بالاتر می رود. می توانیم نتیجه بگیریم که ارزش
|a| و |b| است:
|a&b|=Min(|a|,|b|)
جدول زیر نمونه هایی از ارزش های a&b را نشان می دهد. ارزش های a در ستون سمت چپ، و ارزش های b در ردیف بالاست. ارزش های متناظر a&b درمحل برخورد ردیف و ستون مربوطه دیده می شوند. مثلاً، وقتی |a|=0/25 و |b|=0/75 باشد، 0/75
محل تقاطع ستون سمت چپ و ردیف بالاست، نتیجه را با حروف سیاه نوشته ایم:
|a⋁b|=Max(|a|,|b|
ساختن جدولی مثل جدول بالا را به خودتان واگذار می کنم. نکته ی مهم این است که بنابر آنچه در بالا گفتیم،
وضع شرطی ها چه می شود؟ در فصل 7 دیدیم که دلایل خوبی در دست داریم→ را تابع ارزش محسوب نکنیم؛ ولی فعلاً اجازه دهید این مسئله را کنار بگذاریم. فرض کنیم شرطی ارزش صدق باشد؛ حالا که مسئله ی درجات صدق را پذیرفته ایم، ارزش صدق شرطی را چه طور توضیح دهیم؟ هیچ جوابی به نظر قطعی نمی رسد. یک پیشنهاد، که حالا دیگر استاندارد شده، این است که بگوییم:
ولی آخر «به حد کافی صادق» بودن دیگر چه جور صدقی است؟ این جورصدق ها کاملاً وابسته به متن «context»اند. مثلاً، همان طور که می دانیم، «موتورِ نویی است» محمولی مبهم است. اگر روزی پیش یکی ازفروشنده های موتورسیکلت بروید و او به شما بگوید که فلان موتور نو است، توقع پیدا می کنید که پیش از این هرگز کار نکرده باشد. یعنی انتظار دارید که جمله ی «این موتور نویی است» ارزش 1 داشته باشد. حالا فرض کنید به مسابقه ی رالی رفته اید، و پیش از مسابقه از شما می خواهند موتورهای نو را سوا کنید. شما موتورهایی را سوا خواهید کرد که بیش از یک سال (یا چیزی در همین حدود) کار نکرده باشند. به عبارت دیگر، معیار شما برای نو بودنِ موتور درمثال دوم آسان گیرانه تر شده است. دراین مورد، جمله ی «این موتور نویی است» فقط کافی است ارزشی داشته باشد، مثلاً 0/9 (یا بیش تر). پس فرض می کنیم که سطحی هست که ازآن بالاتر به خود حق می دهیم به جمله ارزش T نسبت دهیم؛ این سطح را متن تعیین می کند، و آن را با عددی بین 0 و 1 نشان می دهیم (که در موارد بسیار خاصی می تواند خود 1 باشد). به این، سطحِ مقبولیت (3) می گویند. اجازه دهید عدد مبیّن این سطح را با
تکلیف پارادوکس های تپه چه می شود؟ فرض کنید دنباله ای داشته باشیم که مدل آن مثل مدل مثال کودک باشد. این بار نیزجمله ی «جک پس از n ثانیه کودک است» را با
ارزش a0
آنچه ازاین مثال درباره ی پارادوکس های تپه می فهمیم نقش تعیین کننده ی سطح مقبولیت،
فرض کنید |a=1| و |a→b|=1 . چون|a→b|=1، پس حتماً|a|≤|b|. در نتیجه، |b|=1. بنابراین، برهان های تپه معتبرند. ولی در این مورد خاص، آنچه پذیرفتی نیست این است که ارزش هر مقدمه ی شرطی 0/75 باشد.
از طرف دیگر، اگر سطح مقبولیت را پایین تر از 1 بگیریم، وضع مقدّم نامعتبر از آب در می آید. فرض کنید
پس، از هر طرف که نگاه کنیم، برهان شکست می خورد: یا بعضی از مقدمات قابل قبول نیستند، یا اگرهم باشند، نتیجه ها به شکلی که اعتبار حفظ شود به دست نمی آیند. چرا برهان های تپه به این راحتی توانستند ما را گول بزنند؟ شاید به این دلیل که ما صدق کامل را با صدقی که نزدیک به صدق کامل است قاطی کرده ایم. ولی ناتوانی ما در تمیزگذاشتن میان این دو قاعدتاً نباید تأثیر زیادی بگذارد. ولی اگر بازهم نتوانستیم، و باز هم نتوانستیم و.... آن وقت دیگر حتماً می گذارد.
این شاید یکی از آن جاهایی باشد که کار را خراب می کرد. ولی اصولاً در مورد مسئله ی ابهام هیچ چیز روشن نیست. ببینید، مثلاً، می گوییم جمله ی «جک کودک است» کاملاً صادق است، و این صدق پابرجا می ماند تا این که لحظه ی معینی فرا می رسد و باعث می شود جمله کاملاً کاذب شود.
واقعاً کجای این حرف غلط است؟ غلطش فقط این است که به نظر می رسد اصلاً چنین لحظه ای وجود ندارد. این که کجا می خواهید خط فارق بکشید کاملاً دلبخواهی است؛ در بهترین حالت، احتمالاً قراردادی است. خب، دوباره می پرسیم: در روند رشد کودک کجاست لحظه ای که او دیگر 100% کودک نیست؟ یعنی کجاست لحظه ای که ارزش جمله ی «جک کودک است» از دقیقاً 1 به زیر 1 تغییر می یابد؟ این جا نیز مثل بالا هر جا دلتان می خواهد می توانید خط فارق بکشید. (به این مسئله معمولاً ابهام مرتبه ی بالاتر (4) می گویند). اگر این حرف درست باشد، ما بنیادی ترین مسئله ی ابهام را عملاً حل نکرده ایم؛ فقط آن را به جای دیگری منتقل کرده ایم.
پریست، گراهام،(1386)، منطق، مترجم: بهرام اسدیان، تهران: نشر ماهی، چاپ سوم
وقتی همه چیز عوض شد، همه ی قطعات قدیمی را کنار هم می گذارم و موتور اولی ام را از نو می سازم. تعویض یک قطعه از موتور بر اینهمانی آن تأثیری نمی گذارد، پس با هم تغییر، موتور همچنان بلک تاندر است (بلک تاندر اسم موتور «اولی» است)؛ و در آخر هم باز همان است- بلک تاندر است. ولی آخر چه طور می شود این حرف ها درست باشند؟
بلک تاندر نازنین خودم حالا کنار موتور جدید درگاراژ پارک شده است!
مثال دیگری بزنم. کسی که 5 سال دارد (از نظر بیولوژیک) کودک محسوب می شود. اگر کسی کودک باشد، یک ثانیه ی بعد هم همچنان کودک است.
ثانیه ی بعد از آن هم همچنان کودک است. ثانیه ی بعد از این ثانیه هم کودک است، ثانیه ی بعد از این ثانیه هم کودک است و .... پس بعد از 630،720،000 ثانیه همچنان کودک است. ولی در این لحظه او 25 ساله است!
می گویند این جور استدلال ها را اِبولیدس اختراع کرده؛ همان اِبولیدسی که پارادوکس دروغگو را اختراع کرد. امروزه به این استدلال ها پارادوکس ها تپه (sorites paradoxes) می گویند (شکل استاندارداین استدلال این است که هرقدر دانه های شن را یکی یکی روی هم بگذارید،هرگز نمی توانید تپه ای درست کنید؛ کلمه ی sorites از واژه ی یونانی soros به معنای «تپه» آمده). این جور پارادوکس ها از آزاردهنده ترین پارادوکس های منطق اند، و وقتی مطرح می شوند که محمولِ به کار رفته («بلک تاندر است»، «کودک است») به نحوی از انحا مبهم (1)باشد؛ به این معنا که پس از تغییر کوچکی در شیئی که این جور محمول ها به آن منتسب می شوند باز هم بتوان این محمول ها را به آن نسبت داد. تقریباً همه ی محمول هایی که در زبان و گفتار روزمره به کار می بریم، به این معنا مبهم اند: «قرمز است»، «بیدار است»، «خوش است»، «مست است» و حتی «مرده است» (چون مردن وقت می برد). به این ترتیب، می بینیم که برهان هایی از نوعِ تپه دراستدلال های هر روزه ی ما به شکلی بالقوه رواج دارند (وقتی با این استدلال ها دست و پنجه نرم می کنیم، انگار روی سرسره ای هستیم و مجبوریم تا ابد سر بخوریم).
برای آن که مطلب کاملاً شفاف شود، بهتر است روی جزئیات یکی از این استدلال ها متمرکز شویم. جک کودک 5 ساله ای است. جمله ی «جک بعد از 0 ثانیه کودک است» را با
چه باید کرد؟ یکی از راه حل ها منطق فازی (2) است. کودک بودن آرام آرام محو می شود درست مثل بزرگسال بودن، که آن هم آرام آرام پدیدار می شود. با توجه به این نکته، به راحتی می توان گفت ارزش گزاره ی «جک کودک است» نیز آرام آرام از صدق به کذب در حرکت است؛ یعنی صدقش آرام آرام محو می شود و کذبش پدیدار می شود. صدق، با این حساب، امری مدرّج است. هر یک از این درجات را با شماره هایی بین 0 و 1 مشخص می کنید: 1 صدق کامل است و
و اما جمله هایی که شامل عملگرهایی مثل نقیض و عطف هستند. جک که بزرگ تر می شود، ارزش صدق جمله ی «جک کودک است» پایین تر می رود [به سمت صفر می رود]. و متناظراً، ارزش صدق جمله ی «جک کودک نیست» بالاتر می رود. می توانیم نتیجه بگیریم که ارزش
|a| و |b| است:
|a&b|=Min(|a|,|b|)
جدول زیر نمونه هایی از ارزش های a&b را نشان می دهد. ارزش های a در ستون سمت چپ، و ارزش های b در ردیف بالاست. ارزش های متناظر a&b درمحل برخورد ردیف و ستون مربوطه دیده می شوند. مثلاً، وقتی |a|=0/25 و |b|=0/75 باشد، 0/75
محل تقاطع ستون سمت چپ و ردیف بالاست، نتیجه را با حروف سیاه نوشته ایم:
|a⋁b|=Max(|a|,|b|
ساختن جدولی مثل جدول بالا را به خودتان واگذار می کنم. نکته ی مهم این است که بنابر آنچه در بالا گفتیم،
وضع شرطی ها چه می شود؟ در فصل 7 دیدیم که دلایل خوبی در دست داریم→ را تابع ارزش محسوب نکنیم؛ ولی فعلاً اجازه دهید این مسئله را کنار بگذاریم. فرض کنیم شرطی ارزش صدق باشد؛ حالا که مسئله ی درجات صدق را پذیرفته ایم، ارزش صدق شرطی را چه طور توضیح دهیم؟ هیچ جوابی به نظر قطعی نمی رسد. یک پیشنهاد، که حالا دیگر استاندارد شده، این است که بگوییم:
ولی آخر «به حد کافی صادق» بودن دیگر چه جور صدقی است؟ این جورصدق ها کاملاً وابسته به متن «context»اند. مثلاً، همان طور که می دانیم، «موتورِ نویی است» محمولی مبهم است. اگر روزی پیش یکی ازفروشنده های موتورسیکلت بروید و او به شما بگوید که فلان موتور نو است، توقع پیدا می کنید که پیش از این هرگز کار نکرده باشد. یعنی انتظار دارید که جمله ی «این موتور نویی است» ارزش 1 داشته باشد. حالا فرض کنید به مسابقه ی رالی رفته اید، و پیش از مسابقه از شما می خواهند موتورهای نو را سوا کنید. شما موتورهایی را سوا خواهید کرد که بیش از یک سال (یا چیزی در همین حدود) کار نکرده باشند. به عبارت دیگر، معیار شما برای نو بودنِ موتور درمثال دوم آسان گیرانه تر شده است. دراین مورد، جمله ی «این موتور نویی است» فقط کافی است ارزشی داشته باشد، مثلاً 0/9 (یا بیش تر). پس فرض می کنیم که سطحی هست که ازآن بالاتر به خود حق می دهیم به جمله ارزش T نسبت دهیم؛ این سطح را متن تعیین می کند، و آن را با عددی بین 0 و 1 نشان می دهیم (که در موارد بسیار خاصی می تواند خود 1 باشد). به این، سطحِ مقبولیت (3) می گویند. اجازه دهید عدد مبیّن این سطح را با
تکلیف پارادوکس های تپه چه می شود؟ فرض کنید دنباله ای داشته باشیم که مدل آن مثل مدل مثال کودک باشد. این بار نیزجمله ی «جک پس از n ثانیه کودک است» را با
ارزش a0
آنچه ازاین مثال درباره ی پارادوکس های تپه می فهمیم نقش تعیین کننده ی سطح مقبولیت،
فرض کنید |a=1| و |a→b|=1 . چون|a→b|=1، پس حتماً|a|≤|b|. در نتیجه، |b|=1. بنابراین، برهان های تپه معتبرند. ولی در این مورد خاص، آنچه پذیرفتی نیست این است که ارزش هر مقدمه ی شرطی 0/75 باشد.
از طرف دیگر، اگر سطح مقبولیت را پایین تر از 1 بگیریم، وضع مقدّم نامعتبر از آب در می آید. فرض کنید
پس، از هر طرف که نگاه کنیم، برهان شکست می خورد: یا بعضی از مقدمات قابل قبول نیستند، یا اگرهم باشند، نتیجه ها به شکلی که اعتبار حفظ شود به دست نمی آیند. چرا برهان های تپه به این راحتی توانستند ما را گول بزنند؟ شاید به این دلیل که ما صدق کامل را با صدقی که نزدیک به صدق کامل است قاطی کرده ایم. ولی ناتوانی ما در تمیزگذاشتن میان این دو قاعدتاً نباید تأثیر زیادی بگذارد. ولی اگر بازهم نتوانستیم، و باز هم نتوانستیم و.... آن وقت دیگر حتماً می گذارد.
این شاید یکی از آن جاهایی باشد که کار را خراب می کرد. ولی اصولاً در مورد مسئله ی ابهام هیچ چیز روشن نیست. ببینید، مثلاً، می گوییم جمله ی «جک کودک است» کاملاً صادق است، و این صدق پابرجا می ماند تا این که لحظه ی معینی فرا می رسد و باعث می شود جمله کاملاً کاذب شود.
واقعاً کجای این حرف غلط است؟ غلطش فقط این است که به نظر می رسد اصلاً چنین لحظه ای وجود ندارد. این که کجا می خواهید خط فارق بکشید کاملاً دلبخواهی است؛ در بهترین حالت، احتمالاً قراردادی است. خب، دوباره می پرسیم: در روند رشد کودک کجاست لحظه ای که او دیگر 100% کودک نیست؟ یعنی کجاست لحظه ای که ارزش جمله ی «جک کودک است» از دقیقاً 1 به زیر 1 تغییر می یابد؟ این جا نیز مثل بالا هر جا دلتان می خواهد می توانید خط فارق بکشید. (به این مسئله معمولاً ابهام مرتبه ی بالاتر (4) می گویند). اگر این حرف درست باشد، ما بنیادی ترین مسئله ی ابهام را عملاً حل نکرده ایم؛ فقط آن را به جای دیگری منتقل کرده ایم.
پی نوشت ها :
Vague
2-fuzzy logic
3- level of acceptability
4- Higher-order vagueness
پریست، گراهام،(1386)، منطق، مترجم: بهرام اسدیان، تهران: نشر ماهی، چاپ سوم
مقالات مرتبط
تازه های مقالات
ارسال نظر
در ارسال نظر شما خطایی رخ داده است
کاربر گرامی، ضمن تشکر از شما نظر شما با موفقیت ثبت گردید. و پس از تائید در فهرست نظرات نمایش داده می شود
نام :
ایمیل :
نظرات کاربران
{{Fullname}} {{Creationdate}}
{{Body}}